最大公因数与最小公倍数公式概览
a,ba,ba,b 的最小公倍数 lcm(a,b)lcm(a,b)lcm(a,b)
a,ba,ba,b 的最大公因数 gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)
a,b,ca,b,ca,b,c 的最小公倍数 lcm(lcm(a,b),c)lcm(lcm(a,b),c)lcm(lcm(a,b),c) （二者先求最小公倍数，结果与第三个数求最小公倍数）
a,b,ca,b,ca,b,c 的最大公因数 gcd(gcd(a,b),c)gcd(gcd(a,b),c)gcd(gcd(a,b),c) （二者先求最大公因数，结果与第三个数求最大公因数）
lcm(a,b)=a×b/gcd(a,b)lcm(a,b)=a\times b /gcd(a,b)lcm(a,b)=a×b/gcd(a,b)
gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))
gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))推导
初步理解
首先，我需要理解 gcd\text{gcd}gcd 和 lcm\text{lcm}lcm 的定义及其基本性质。
最大公因数（gcd\text{gcd}gcd）：两个或多个整数共有约数中最大的一个。最小公倍数（lcm\text{lcm}lcm）：两个或多个整数共有倍数中最小的一个。
此外，gcd\text{gcd}gcd 和 lcm\text{lcm}lcm 之间有一个重要的关系：
gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b
\text{gcd}(a, b) \times \text{lcm}(a, b) = a \times b
gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b
分析等式
我们需要证明的等式涉及三个变量 aaa, bbb, ccc，并且结合了 gcd\text{gcd}gcd 和 lcm\text{lcm}lcm 的运算。为了简化问题，我考虑使用素因数分解的方法，因为 gcd\text{gcd}gcd 和 lcm\text{lcm}lcm 都可以通过素因数分解来表示。
素因数分解法
假设 aaa, bbb, ccc 的素因数分解分别为：
a=∏ppαp,b=∏ppβp,c=∏ppγp
a = \prod_{p} p^{\alpha_p}, \quad b = \prod_{p} p^{\beta_p}, \quad c = \prod_{p} p^{\gamma_p}
a=p∏pαp,b=p∏pβp,c=p∏pγp
其中，ppp 是素数，αp\alpha_pαp, βp\beta_pβp, γp\gamma_pγp 是非负整数，表示对应素数的幂次。
根据素因数分解，gcd\text{gcd}gcd 和 lcm\text{lcm}lcm 可以表示为：
gcd(a,b)=∏ppmin(αp,βp)
\text{gcd}(a, b) = \prod_{p} p^{\min(\alpha_p, \beta_p)}
gcd(a,b)=p∏pmin(αp,βp)
lcm(a,b)=∏ppmax(αp,βp)
\text{lcm}(a, b) = \prod_{p} p^{\max(\alpha_p, \beta_p)}
lcm(a,b)=p∏pmax(αp,βp)
表达式的素因数分解
现在，我们将等式两边的表达式用素因数分解表示。
左边：gcd(lcm(a,b),c)\text{gcd}(\text{lcm}(a, b), c)gcd(lcm(a,b),c)
首先，计算 lcm(a,b)\text{lcm}(a, b)lcm(a,b)：
lcm(a,b)=∏ppmax(αp,βp)
\text{lcm}(a, b) = \prod_{p} p^{\max(\alpha_p, \beta_p)}
lcm(a,b)=p∏pmax(αp,βp)
然后，计算 gcd(lcm(a,b),c)\text{gcd}(\text{lcm}(a, b), c)gcd(lcm(a,b),c)：
gcd(lcm(a,b),c)=∏ppmin(max(αp,βp),γp)
\text{gcd}(\text{lcm}(a, b), c) = \prod_{p} p^{\min(\max(\alpha_p, \beta_p), \gamma_p)}
gcd(lcm(a,b),c)=p∏pmin(max(αp,βp),γp)
右边：lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))\text{lcm}(\text{gcd}(a, c), \text{gcd}(b, c))lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))
首先，计算 gcd(a,c)\text{gcd}(a, c)gcd(a,c) 和 gcd(b,c)\text{gcd}(b, c)gcd(b,c)：
gcd(a,c)=∏ppmin(αp,γp)
\text{gcd}(a, c) = \prod_{p} p^{\min(\alpha_p, \gamma_p)}
gcd(a,c)=p∏pmin(αp,γp)
gcd(b,c)=∏ppmin(βp,γp)
\text{gcd}(b, c) = \prod_{p} p^{\min(\beta_p, \gamma_p)}
gcd(b,c)=p∏pmin(βp,γp)
然后，计算 lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))\text{lcm}(\text{gcd}(a, c), \text{gcd}(b, c))lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))：
lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))=∏ppmax(min(αp,γp),min(βp,γp))
\text{lcm}(\text{gcd}(a, c), \text{gcd}(b, c)) = \prod_{p} p^{\max(\min(\alpha_p, \gamma_p), \min(\beta_p, \gamma_p))}
lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))=p∏pmax(min(αp,γp),min(βp,γp))
比较两边的素因数分解
现在，我们需要证明：
∏ppmin(max(αp,βp),γp)=∏ppmax(min(αp,γp),min(βp,γp))
\prod_{p} p^{\min(\max(\alpha_p, \beta_p), \gamma_p)} = \prod_{p} p^{\max(\min(\alpha_p, \gamma_p), \min(\beta_p, \gamma_p))}
p∏pmin(max(αp,βp),γp)=p∏pmax(min(αp,γp),min(βp,γp))
由于素因数分解的唯一性，我们只需要证明对于每一个素数 ppp，指数部分相等即可：
min(max(αp,βp),γp)=max(min(αp,γp),min(βp,γp))
\min(\max(\alpha_p, \beta_p), \gamma_p) = \max(\min(\alpha_p, \gamma_p), \min(\beta_p, \gamma_p))
min(max(αp,βp),γp)=max(min(αp,γp),min(βp,γp))
证明指数部分相等
我们需要证明：
min(max(αp,βp),γp)=max(min(αp,γp),min(βp,γp))
\min(\max(\alpha_p, \beta_p), \gamma_p) = \max(\min(\alpha_p, \gamma_p), \min(\beta_p, \gamma_p))
min(max(αp,βp),γp)=max(min(αp,γp),min(βp,γp))
为了简化符号，设：
x=αp,y=βp,z=γp
x = \alpha_p, \quad y = \beta_p, \quad z = \gamma_p
x=αp,y=βp,z=γp
则我们需要证明：
min(max(x,y),z)=max(min(x,z),min(y,z))
\min(\max(x, y), z) = \max(\min(x, z), \min(y, z))
min(max(x,y),z)=max(min(x,z),min(y,z))
分析不同情况
为了证明上述等式，我们可以考虑 xxx, yyy, zzz 之间的大小关系。由于 max\maxmax 和 min\minmin 函数的对称性，我们可以假设 x≤yx \leq yx≤y 而不失一般性。因此，我们有以下几种情况：
情况一：z≤x≤yz \leq x \leq yz≤x≤y情况二：x≤z≤yx \leq z \leq yx≤z≤y情况三：x≤y≤zx \leq y \leq zx≤y≤z
我们逐一分析这些情况。
情况一：z≤x≤yz \leq x \leq yz≤x≤y
max(x,y)=y\max(x, y) = ymax(x,y)=y
min(max(x,y),z)=min(y,z)=z\min(\max(x, y), z) = \min(y, z) = zmin(max(x,y),z)=min(y,z)=z （因为 z≤yz \leq yz≤y）
min(x,z)=z\min(x, z) = zmin(x,z)=z （因为 z≤xz \leq xz≤x）
min(y,z)=z\min(y, z) = zmin(y,z)=z （因为 z≤yz \leq yz≤y）
max(min(x,z),min(y,z))=max(z,z)=z\max(\min(x, z), \min(y, z)) = \max(z, z) = zmax(min(x,z),min(y,z))=max(z,z)=z
因此，两边相等。
情况二：x≤z≤yx \leq z \leq yx≤z≤y
max(x,y)=y\max(x, y) = ymax(x,y)=y
min(max(x,y),z)=min(y,z)=z\min(\max(x, y), z) = \min(y, z) = zmin(max(x,y),z)=min(y,z)=z （因为 z≤yz \leq yz≤y）
min(x,z)=x\min(x, z) = xmin(x,z)=x （因为 x≤zx \leq zx≤z）
min(y,z)=z\min(y, z) = zmin(y,z)=z （因为 z≤yz \leq yz≤y）
max(min(x,z),min(y,z))=max(x,z)=z\max(\min(x, z), \min(y, z)) = \max(x, z) = zmax(min(x,z),min(y,z))=max(x,z)=z
因此，两边相等。
情况三：x≤y≤zx \leq y \leq zx≤y≤z
max(x,y)=y\max(x, y) = ymax(x,y)=y
min(max(x,y),z)=min(y,z)=y\min(\max(x, y), z) = \min(y, z) = ymin(max(x,y),z)=min(y,z)=y （因为 y≤zy \leq zy≤z）
min(x,z)=x\min(x, z) = xmin(x,z)=x （因为 x≤zx \leq zx≤z）
min(y,z)=y\min(y, z) = ymin(y,z)=y （因为 y≤zy \leq zy≤z）
max(min(x,z),min(y,z))=max(x,y)=y\max(\min(x, z), \min(y, z)) = \max(x, y) = ymax(min(x,z),min(y,z))=max(x,y)=y
因此，两边相等。
结论
通过以上三种情况的分析，我们发现对于任意非负整数 xxx, yyy, zzz，都有：
min(max(x,y),z)=max(min(x,z),min(y,z))
\min(\max(x, y), z) = \max(\min(x, z), \min(y, z))
min(max(x,y),z)=max(min(x,z),min(y,z))
因此，原等式成立：
gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))
\text{gcd}(\text{lcm}(a, b), c) = \text{lcm}(\text{gcd}(a, c), \text{gcd}(b, c))
gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))
最终答案
通过素因数分解和分情况讨论，我们证明了：
gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))
\text{gcd}(\text{lcm}(a, b), c) = \text{lcm}(\text{gcd}(a, c), \text{gcd}(b, c))
gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))